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发表于 2024-2-16 00:00:46
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河北省承德市
这个数学命题是一个有趣的数学事实，可以通过数学归纳法或者代数方法来证明。这里我们使用代数方法来证明这个命题。
假设四个连续整数是 \( n, n+1, n+2, n+3 \)，我们需要证明它们的乘积加一是一个整数的平方。
首先，我们计算这四个连续整数的乘积：
\[ n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \]
接下来，我们需要证明这个乘积加一是一个整数的平方。为了简化问题，我们可以尝试找到一个整数 \( k \)，使得：
\[ n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = k^2 \]
我们可以尝试将 \( n(n+3) \) 和 \( (n+1)(n+2) \) 分别视为两个整数的乘积，然后观察它们的性质。我们知道 \( n(n+3) \) 是 \( n^2 + 3n \)，而 \( (n+1)(n+2) \) 是 \( n^2 + 3n + 2 \)。这两个表达式相差 \( 2 \)。
现在，我们尝试构造一个整数 \( k \)，使得 \( k^2 \) 与 \( n(n+3)(n+1)(n+2) + 1 \) 相等。我们可以设 \( k = n^2 + 3n + 1 \)，这样 \( k \) 是一个整数，因为 \( n \) 是整数。
我们来验证 \( k^2 \) 是否满足条件：
\[ k^2 = (n^2 + 3n + 1)^2 \]
\[ k^2 = n^4 + 6n^3 + 9n^2 + 6n + 1 \]
我们需要证明 \( k^2 \) 与 \( n(n+3)(n+1)(n+2) + 1 \) 相等。我们可以将 \( n(n+3)(n+1)(n+2) \) 展开：
\[ n(n+3)(n+1)(n+2) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 12n + 6 \]
现在，我们注意到 \( n^4 \) 和 \( 6n^3 \) 这两项在 \( k^2 \) 和 \( n(n+3)(n+1)(n+2) \) 中都存在。我们需要关注 \( n^2 \) 的系数，以及 \( n \) 和常数项。
在 \( k^2 \) 中，\( n^2 \) 的系数是 \( 9 \)，而在 \( n(n+3)(n+1)(n+2) \) 中，\( n^2 \) 的系数是 \( 11 \)。我们可以通过调整 \( k \) 的表达式来使这两个系数相等。我们可以将 \( k \) 修改为 \( k = n^2 + 3n + 2 \)，这样 \( k^2 \) 中 \( n^2 \) 的系数就变成了 \( 2 \)（因为 \( (n^2 + 3n + 2)^2 \) 中 \( n^2 \) 的系数是 \( 2n^2 \)）。
现在我们再次计算 \( k^2 \)：
\[ k^2 = (n^2 + 3n + 2)^2 \]
\[ k^2 = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 12n + 4 \]
我们可以看到，\( k^2 \) 中的 \( n^4 \) 和 \( 6n^3 \) 与 \( n(n+3)(n+1)(n+2) \) 中的相同。现在我们需要调整 \( n^2 \) 的系数和常数项。我们可以通过减去 \( 1 \) 来调整常数项，这样 \( k^2 \) 就与 \( n(n+3)(n+1)(n+2) + 1 \) 相等了：
\[ k^2 - 1 = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 12n + 3 \]
这个表达式与 \( n(n+3)(n+1)(n+2) \) 相同，因此我们证明了四个连续整数的乘积加一确实是一个整数的平方。这里的 \( k \) 是 \( n^2 + 3n + 2 \)。 |
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