首发，数学之美，泰勒级数的应用，大数支持库的扩展

明天自然醒 · 发表于 2023-7-10 22:54:09

本帖最后由明天自然醒于 2023-7-11 20:39 编辑

你会发现你在论坛上，支持库里都找不到支持

ln（自然对数）/ lg（以10位底的对数函数）
exp（以自然对数为底的指数函数）
pow（求次方）

以上这几个数学基本函数，可能由于精度和运算速度的问题，我猜测作者没有开发。

所以，本帖旨在缩小精度，速度不保证的情况下，提出上述三个函数。采用的是泰勒级数展开法，可能收敛比较慢，取得是小数部分的或参数优化，所以精度稍微有保障（统一了次数）

QQ截图20230710224541.png

*意思是存在一定的误差，工程上允许的误差！

在关于lnx的函数原理中，我构造了两种函数，Remez函数是借鉴了C语言的核心，反反复复折腾了好久，有能力的可以参考原作品，或者参考Windows计算器的开源版，在GitHub上有发布。

标准方案，这套方案是 1993 年由 Sun Microsystems 正式写入 C 标准库的方案，函数为 double ieee754log(double x)（ieee754: IEEE二进制浮点数算术标准）。但这套方法为了性能的苛刻而写得过于复杂.

所有的对数函数计算核心都是利用（泰勒级数）然后多项式求和计算结果。为了性能或者精度的要求可能会对展开后的求和式子做进一步优化，最终会封装一个 ln 函数出来。其余的对数函数都是使用换底公式来套 ln 函数做的最底层实现，随着大量图形运算的需求提升，ln函数实现得好不好直接决定你电脑快不快。

[C] 纯文本查看 复制代码

#include "fdlibm.h"

#ifdef __STDC__
static const double
#else
static double
#endif
ln2_hi  =  6.93147180369123816490e-01,        /* 3fe62e42 fee00000 */
ln2_lo  =  1.90821492927058770002e-10,        /* 3dea39ef 35793c76 */
two54   =  1.80143985094819840000e+16,  /* 43500000 00000000 */
Lg1 = 6.666666666666735130e-01,  /* 3FE55555 55555593 */
Lg2 = 3.999999999940941908e-01,  /* 3FD99999 9997FA04 */
Lg3 = 2.857142874366239149e-01,  /* 3FD24924 94229359 */
Lg4 = 2.222219843214978396e-01,  /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
Lg5 = 1.818357216161805012e-01,  /* 3FC74664 96CB03DE */
Lg6 = 1.531383769920937332e-01,  /* 3FC39A09 D078C69F */
Lg7 = 1.479819860511658591e-01;  /* 3FC2F112 DF3E5244 */

static double zero   =  0.0;

#ifdef __STDC__
        double __ieee754_log(double x)
#else
        double __ieee754_log(x)
        double x;
#endif
{
        double hfsq,f,s,z,R,w,t1,t2,dk;
        int k,hx,i,j;
        unsigned lx;

        hx = __HI(x);                /* high word of x */
        lx = __LO(x);                /* low  word of x */

        k=0;
        if (hx < 0x00100000) {                        /* x < 2**-1022  */
            if (((hx&0x7fffffff)|lx)==0) 
                return -two54/zero;                /* log(+-0)=-inf */
            if (hx<0) return (x-x)/zero;        /* log(-#) = NaN */
            k -= 54; x *= two54; /* subnormal number, scale up x */
            hx = __HI(x);                /* high word of x */
        } 
        if (hx >= 0x7ff00000) return x+x;
        k += (hx>>20)-1023;
        hx &= 0x000fffff;
        i = (hx+0x95f64)&0x100000;
        __HI(x) = hx|(i^0x3ff00000);        /* normalize x or x/2 */
        k += (i>>20);
        f = x-1.0;
        //  到这，第一步标记，得出 k, f, s 的值了
        if((0x000fffff&(2+hx))<3) {        /* |f| < 2**-20 */
            if(f==zero) if(k==0) return zero;  else {dk=(double)k;
                                 return dk*ln2_hi+dk*ln2_lo;}
            R = f*f*(0.5-0.33333333333333333*f);
            if(k==0) return f-R; else {dk=(double)k;
                         return dk*ln2_hi-((R-dk*ln2_lo)-f);}
        }
         s = f/(2.0+f); 
        dk = (double)k;
        z = s*s;
        i = hx-0x6147a;
        w = z*z;
        j = 0x6b851-hx;
        t1= w*(Lg2+w*(Lg4+w*Lg6)); 
        t2= z*(Lg1+w*(Lg3+w*(Lg5+w*Lg7))); 
        i |= j;
        R = t2+t1;
        if(i>0) {
            hfsq=0.5*f*f;
            if(k==0) return f-(hfsq-s*(hfsq+R)); else
                     return dk*ln2_hi-((hfsq-(s*(hfsq+R)+dk*ln2_lo))-f);
        } else {
            if(k==0) return f-s*(f-R); else
                     return dk*ln2_hi-((s*(f-R)-dk*ln2_lo)-f);
        }
}

主要核心应该是：雷米兹算法 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B7%E7%B1%B3%E8%8C%B2%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95
Remez算法。
QQ截图20230710224700.png

输出结果 (类_大数运算.ln (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
' Remez 算法
输出结果 (类_大数运算.ln_Remez (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
输出结果 (类_大数运算.lg (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
输出结果 (类_大数运算.lg_Remez (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
输出结果 (类_大数运算.pow_Remez (制大数_ (“-0.001231092”), 制大数_ (“-0.00000000001231321231092”)))
输出结果 (类_大数运算.pow (制大数_ (“-0.001231092”), 制大数_ (“-0.00000000001231321231092”)))
输出结果 (类_大数运算.exp (制大数_ (“-0.101231231231231130192390123012312312321313123123”)))

' 自然对数
输出结果 (类_大数运算.ln (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
' 自然对数的 Remez 算法
输出结果 (类_大数运算.ln_Remez (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
' 以10位底的对数函数
输出结果 (类_大数运算.lg (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
输出结果 (类_大数运算.lg_Remez (制大数_ (“2131231231231231230.130192390123012312312321313123123”)))
' 幂函数
输出结果 (类_大数运算.pow_Remez (制大数_ (“-0.001231092”), 制大数_ (“-0.00000000001231321231092”)))
输出结果 (类_大数运算.pow (制大数_ (“-0.001231092”), 制大数_ (“-0.00000000001231321231092”)))
' 指数函数
输出结果 (类_大数运算.exp (制大数_ (“-0.101231231231231130192390123012312312321313123123”)))

大数扩展函数.e (24.69 KB, 下载次数: 46)

year1970 · 发表于 2024-1-16 08:33:20

感谢分享，学习了

lu1546545602 · 发表于 2023-12-19 18:42:36

加油加油

jiangjinhua · 发表于 2023-11-10 16:40:59

牛逼，开源万岁

jiangjinhua · 发表于 2023-11-10 16:35:54

最近在研究数据分析，感觉很有用

wdq108 · 发表于 2023-8-20 01:52:15

隐尘 · 发表于 2023-7-26 20:14:27

感觉挺有用的！

明天自然醒 · 发表于 2023-7-22 10:49:43

笨来无一悟发表于 2023-7-16 12:44
求个什么框架排序器的传送门没有搜到想学习学习

https://bbs.125.la/forum.php?mod ... B%E6%8E%92%E5%BA%8F

亿万 · 发表于 2023-7-17 21:14:31

感谢分享支持开源！

笨来无一悟 · 发表于 2023-7-16 12:44:09

求个什么框架排序器的传送门没有搜到想学习学习

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