【原创】【学数学】对于伽马函数x!的拟合

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前言：

• 本文章的证明过程和部分图片来自：数学经典：伽玛函数的原理及发现
• 什么是伽马函数？
  • 伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

伽马函数的意义：

• 在z∈N+时，Γ(z)=(z-1)!（z!=1*2*3*...*z）
• 在z∈R+时：

伽马函数的推导：

• 证明Γ(z+1)=zΓ(z)
• 在等于1情况下，得到的结果是1：
• 于是就得到任意数值的阶乘:
• 于是著名的伽玛函数公式产生了，欧拉的猜测无疑是正确的:

现在，转到代码上：

• 首先我们得先计算(x^n)*e^(-x)的值，再来考虑定积分：
• 好了，下一步是什么呢，当然是要进行定积分操作了，代码如下：
• 原理是这样的，简单的说，从0到正无穷的定积分相当于这条曲线和x轴围成的曲边梯形的面积（分正负，这里以x^5*e^(-x)举例），如图：
• 代码中当然不能直接算曲边梯形面积，那么怎么办呢？不用担心，我们可以把这个曲边梯形无限细分为矩形（例子（在这里看来，细分的矩形还是不能完全占有该块曲边梯形，但是如果我们分隔得足够小的话，我们便可以进行近似代替）：），那么我们就可以用底乘高来算每一个小部分的面积，再加起来就可以得到结果了。

结果show：

• 对于1.5!的计算结果（看来我们此时代码对于Γ(z)的拟合已经比较不错了）：
• 已知问题：该方法计算量大，计算耗时特别高，在无穷大量处偏差较大，不过对于小量的计算是比较准确的，毕竟本帖的目的是学数学思想！

源码：

伽马函数的拟合.e (3.28 KB, 下载次数: 41)

2020-8-1 16:51 上传

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cf2010

要解决计算资源耗费过多的问题，可以使用龙贝格求积分法，相对直接分割矩形，龙贝格可以极大节约计算资源

Aa798040941

不错不错

BIG牛肉面

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tapouki

支持开源~！感谢分享

tsinghua

厉害了啊

bordex

强大 这数学

韦贝贝

        感谢分享，很给力！~

wjswzj0

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梦寻简单

学习学习

胖虎O

都是强者。